高中数学立体几何公式是高中数学课程中极为重要且基础的部分，它主要涉及空间图形、线面关系、线线关系以及空间距离的计算。这些公式构成了解析几何与空间想象能力的重要桥梁。在长期的教学实践中，许多学生对于抽象的空间概念感到迷茫，难以将理论应用于实际计算。
因此，深入理解并掌握这些公式显得尤为关键。本文旨在通过详细的梳理与实例分析，帮助同学们更好地掌握高中数学立体几何公式，提升解题能力。
一、空间图形与点线面关系空间图形是立体几何的基础，它包括平面图形和立体图形。平面图形包括三角形、四边形、多边形等，而立体图形则包括棱柱、棱锥、棱台、棱锥等。点、线、面、体是构成空间图形的基本元素，它们之间的关系是立体几何研究的核心。
二、平行与垂直关系平行关系包括线线平行、线面平行和面面平行。垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直。掌握这些关系是解决空间问题的前提。
三、距离与面积距离包括点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离以及平面与平面之间的距离。面积包括三角形面积、四边形面积等。
四、体积与表面积体积包括棱柱体积、棱锥体积、棱台体积、球体体积等。表面积包括棱柱表面积、棱锥表面积、棱台表面积以及球体表面积等。
五、空间向量与坐标空间向量是研究空间几何关系的重要工具，它包括向量的加法、减法、数乘以及数量积等运算。空间直角坐标系是建立空间几何模型的基础，它包括原点、轴、单位向量等概念。
六、典型例题解析以下是几个典型的立体几何公式应用实例，帮助同学们更好地理解这些公式的实际用法。例题一：求四面体体积设四面体 ABCD 的四个顶点坐标分别为 A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1)。要求计算该四面体的体积。根据四面体体积公式 V = (1/3) S h，其中 S 为底面积，h 为高。若以三角形 ABC 为底面，则底面积 S = (1/2) |AB| |AC| = (1/2) 1 1 = 1/2。顶点 D 到底面 ABC 的距离即为高 h = 1。
因此，体积 V = (1/3) (1/2) 1 = 1/6。例题二：求点到平面的距离设平面方程为 x + y + z = 0，点 P(2,3,4)。要求计算点 P 到该平面的距离 d。根据点到平面距离公式 d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)，代入数值可得 d = |12 + 13 + 14 + 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = 9 / sqrt(3) = 3sqrt(3)。例题三：求二面角设平面 α 的法向量为 n1 = (1,0,0)，平面 β 的法向量为 n2 = (0,1,0)。要求计算这两个平面的二面角 θ。根据公式 cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)，代入数值可得 cosθ = 0，因此 θ = 90°。例题四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，边长为 2，高为 3。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = 2 2 = 4。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) 2 3 = 3。
因此，总表面积 S_total = 4 + 4 3 = 16。例题五：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3，代入 R = 1 可得 V = 4/3 π。例题六：求棱柱体积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其体积 V。根据长方体体积公式 V = a b c。例题七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))，其中 S1 和 S2 分别为上下底面积。例题八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|，其中 A 是平面 α 上一点。例题九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|，其中 n 为公垂线方向向量。例题十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题二十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题二十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题二十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题二十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题二十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题二十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题二十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题二十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题二十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题二十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题三十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题三十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题三十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题三十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题三十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题三十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题三十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题三十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题三十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题三十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题四十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题四十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题四十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题四十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题四十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题四十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题四十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题四十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题四十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题四十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题五十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题五十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题五十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题五十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题五十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题五十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题五十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题五十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题五十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题五十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题六十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题六十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题六十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题六十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题六十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题六十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题六十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题六十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题六十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题六十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题七十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题七十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题七十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题七十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题七十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题七十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题七十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题七十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题七十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题七十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题八十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题八十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题八十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题八十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题八十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题八十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题八十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题八十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题八十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题八十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题九十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题九十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题九十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题九十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题九十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题九十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题九十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题九十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题九十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题九十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题一百：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题一百一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题一百二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题一百三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题一百四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题一百五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题一百六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题一百七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题一百八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题一百九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题二百：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题二百一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题二百二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题二百三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题二百四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题二百五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题二百六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题二百七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题二十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题二十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题三十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题三十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题三十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题三十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题三十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题三十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题三十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题三十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题三十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题三十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题四十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题四十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题四十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题四十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题四十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题四十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题四十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题四十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题四十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题四十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题五十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题五十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题五十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题五十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题五十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题五十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题五十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题五十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题五十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题五十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题六十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题六十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题六十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题六十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题六十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题六十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题六十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题六十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题六十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题六十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题七十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题七十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题七十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题七十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题七十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题七十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题七十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题七十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题七十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题七十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题八十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题八十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题八十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题八十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题八十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题八十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题八十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题八十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题八十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题八十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题九十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题九十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题九十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题九十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题九十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题九十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题九十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题九十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题九十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题九十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题一百：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题一百一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题一百二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题一百三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题一百四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题一百五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题一百六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题一百七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题一百八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题一百九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题二十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题二十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题二十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题二十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题二十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题二十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题二十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题二十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题二十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题二十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题三十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题三十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题三十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题三十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题三十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题三十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题三十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题三十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题三十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题三十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题四十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题四十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题四十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题四十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题四十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题四十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题四十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题四十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题四十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题四十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题五十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题五十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题五十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题五十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题五十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题五十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题五十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题五十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题五十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题五十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题六十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题六十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题六十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题六十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题六十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题六十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题六十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题六十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题六十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题六十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题七十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题七十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题七十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题七十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题七十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题七十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题七十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题七十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题七十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题七十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题八十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题八十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题八十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题八十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题八十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题八十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题八十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题八十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题八十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题八十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题九十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题九十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题九十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题九十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题九十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题九十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题九十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题九十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题九十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题九十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题一百：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题一百一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题一百二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题一百三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题一百四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题一百五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题一百六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题一百七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题一百八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题一百九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题二十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题二十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题二十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题二十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题二十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题二十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题二十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题二十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题二十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题二十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题三十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题三十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题三十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题三十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题三十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题三十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题三十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题三十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题三十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题三十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题四十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题四十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题四十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题四十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题四十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题四十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题四十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题四十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题四十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题四十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题五十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题五十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题五十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题五十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题五十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题五十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题五十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题五十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题五十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题五十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题六十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题六十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题六十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题六十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题六十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题六十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题六十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题六十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题六十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题六十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题七十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题七十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题七十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题七十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题七十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题七十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题七十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题七十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题七十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题七十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题八十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题八十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题八十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题八十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题八十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题八十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题八十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题八十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题八十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题八十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题九十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题九十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题九十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题九十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题九十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题九十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题九十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题九十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题九十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题九十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题一百：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题一百一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题一百二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题一百三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题一百四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题一百五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题一百六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题一百七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题一百八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题一百九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题二十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题二十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题二十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题二十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题二十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题二十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题二十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题二十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题二十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题二十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题三十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题三十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题三十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题三十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题三十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题三十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题三十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题三十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题三十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题三十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题四十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题四十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题四十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题四十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题四十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题四十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题四十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题四十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题四十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题四十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题五十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题五十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题五十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题五十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题五十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题五十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题五十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题五十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题五十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题五十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题六十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题六十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题六十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题六十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题六十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题六十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题六十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题六十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题六十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题六十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题七十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题七十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题七十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题七十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题七十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题七十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题七十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题七十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题七十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题七十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题八十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题八十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题八十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题八十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题八十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题八十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题八十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题八十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题八十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题八十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题九十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题九十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题九十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题九十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题九十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题九十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题九十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题九十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题九十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题九十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题一百：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题一百一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题一百二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题一百三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题一百四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题一百五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题一百六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题一百七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题一百八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题一百九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题二十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题二十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题二十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题二十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题二十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题二十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题二十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题二十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题二十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题二十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题三十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题三十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题三十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题三十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题三十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。例题三十五：求棱柱表面积设长方体长宽高分别为 a, b, c，求其表面积 S。根据长方体表面积公式 S = 2 (ab + bc + ca)。例题三十六：求球体体积设球体半径为 R，求其体积 V。根据球体体积公式 V = (4/3) π R^3。例题三十七：求棱台体积设上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h，求其体积 V。根据棱台体积公式 V = (1/3) h (S1 + S2 + sqrt(S1S2))。例题三十八：求线面距离设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n，直线 l 上一点 P 到平面 α 的距离为 d。根据公式 d = |(P - A) · n| / |n|。例题三十九：求异面直线距离设异面直线 m 和 n 的方向向量分别为 v1 和 v2，公垂线段长度为 h，公垂线方向向量为 v。根据公式 d = |(v1 × v2) · n| / |v1 × v2|。例题四十：求平面与平面夹角设平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，求这两个平面的夹角 θ。根据公式 cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)。例题四十一：求点到直线距离设点 P 到直线 l 的距离为 d，点 P 到直线 l 上一点 A 的向量为 AP，直线 l 的方向向量为 v。根据公式 d = |AP × v| / |v|。例题四十二：求二面角平面角设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，在棱 l 上取一点 O，在两个半平面 α 和 β 内分别作 OA ⊥ l 和 OB ⊥ l，则 θ = ∠AOB。例题四十三：求球体表面积设球体半径为 R，求其表面积 S。根据球体表面积公式 S = 4 π R^2。例题四十四：求棱锥表面积设四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，边长为 a, b，高为 h。求该四棱锥的表面积。底面面积 S = a b。侧面四个三角形面积均为 S' = (1/2) a h。
因此，总表面积 S_total = a b + 4 (1/2) a h = a b + 2 a h。